Pochodził z rodziny szlacheckiej, a karierę urzędniczą rozpoczął jako burmistrz pobliskiego Kazimierza, a potem Sochaczewa. W 1862 r. przeniósł się do Łodzi, gdzie 16 grudnia 1862 r. został następcą Franciszka Traegera na stanowisku prezydenta Łodzi jako trzeci w dziejach miasta. Przyszło mu rządzić w bardzo trudnym czasie szalejącego kryzysu gospodarczego, a także robotniczych buntów oraz rosnącego napięcia społecznego w Królestwie Polskim, którego wyrazem był wybuch powstania styczniowego. W nocy z 30 na 31 stycznia 1863 r. powstańcy pod wodzą ks. Józefa Czajkowskiego pojawili się przed ratuszem, zerwali rosyjskiego orła, ogłosili powstanie Rządu Narodowego, a z kasy miejskiej zarekwirowali 18 tys. rubli.

Znany ze swych patriotycznych przekonań Andrzej Rosicki został usunięty ze stanowiska 15 lutego 1865 r. za sprzyjanie powstańcom. Po dymisji zajął się organizacją Towarzystwa Kredytowego Miasta Łodzi, którego był dyrektorem od 1872 r. aż do śmierci w 17 stycznia 1904 r. Instytucja została stworzona przy udziale prywatnego kapitału łódzkich fabrykantów i udzielała korzystnych pożyczek na budowę i inwestycje, co miało istotne znaczenie dla rozwoju miasta. Andrzej Rosicki spoczywa na Starym Cmentarzu, ma także w Łodzi swoją ulicę – nieoficjalnie przez kilka ostatnich dekad XIX wieku ul. Andrzeja nazywana była przez łodzian ulicą Andrzeja Rosickiego.