Osser urodził się w Warszawie 27 września 1863 r. w rodzinie Szlamy Ossera, zamożnego handlowca. Po ukończeniu Wyższej Szkoły Handlowej w Warszawie wyjechał do Niemiec i Anglii, gdzie odbywał praktyki w dużych domach handlu bawełną. Po powrocie do kraju otworzył w 1886 r. w Łodzi przy ul. Juliusza 15 (ul. Dowborczyków) skład bawełny. Po kilku latach jego oddziały powstały w Azji i Persji. W 1902 r. przystąpił, m.in. wraz ze szwagrem Albertem Jarocińskim, do budowy przędzalni przy ul. Widzewskiej (ul. Kilińskiego 204 – to potężny gmach na terenie zakładów „Polmo”). Start nastąpił w lipcu 1903 r., a 2 lata później firma miała 2,5 mln rubli rocznego obrotu. W zakładach zainstalowanych było ponad 50 tys. wrzecion.
W 1930 r. kapitał spółki wzrósł do 4,8 mln zł, a firma zatrudniała od 500 do 800 robotników. Adam Osser był potentatem bawełnianym i akcjonariuszem spółki I. K. Poznańskiego. Działał w zrzeszeniach gospodarczych, był członkiem Komitetu Giełdowego Łódzkiego w latach 1900–1930 i członkiem zarządu Zrzeszenia Producentów Przędzy Bawełnianej w Polsce oraz Rady Banku Handlowego. Od 1925 r. pełnił też funkcję honorowego konsula Królestwa Włoch. Z małżeństwa z Miną z Jarocińskich miał troje dzieci: córkę Felę oraz synów – Stefana i Janusza. Ciężka choroba uniemożliwiła mu pracę w ostatnich latach życia. Zmarł w Wiedniu w 1932 r., ale ciało sprowadzono do Łodzi i pochowano na cmentarzu przy ul. Brackiej.
