Urodził się 22 kwietnia 1949 w Słupsku, lecz wkrótce wraz z rodziną przeprowadził się do Łodzi. Przygodę z futbolem rozpoczął w ŁKS, ale po otrzymaniu powołania do wojska musiał wrócić na Pomorze. Tu trafił do gdyńskiej Floty, w której występował do roku 1971. W trakcie jednego ze sparingów zwrócił na siebie uwagę Leszka Jezierskiego, który stawiał fundamenty pod przyszłe sukcesy Widzewa. Dzięki legendarnemu szkoleniowcowi Możejko trafił więc na Armii Czerwonej (obecnie al. Piłsudskiego) i stał się podporą zespołu, który z trzeciej ligi rozpoczynał marsz na szczyt polskiego futbolu. Gdy w 1982 lewy obrońca przenosił się do fińskiego Kokkolan Palloveikot miał na koncie nie tylko awanse do drugiej i pierwszej ligi (obecnie ekstraklasa), ale również dwa mistrzostwa Polski (1981, 1982), trzy wicemistrzostwa (1977, 1979, 1980) i udane występy w europejskich pucharach, w których z powodzeniem rywalizował z zawodnikami m.in. Manchesteru City, Manchesteru United i Juventusu. Po roku gry w Palloveikot przeniósł się do Rauman Pallo, gdzie występował do roku 1985. Później wrócił z Finlandii i przez rok występował w łódzkim Starcie. Karierę zakończył w Kolajarzu Łódź, którego barw bronił w sezonie 1986-1987.
W późniejszych latach jako trener pracował m.in. z młodzieżą Włókniarza Pabianice i z dziewczętami UMKS Zgierz. Angażował się również w działalność Stowarzyszenia Byłych Piłkarzy Widzewa, a w 2015 był członkiem trzyosobowego zarządu stowarzyszenia Reaktywacja Tradycji Sportowych Widzew, które rozpoczęło odbudowę klubu po upadłości likwidacyjnej.
Andrzej Możejko zmarł 1 maja 2021. Pogrzeb odbędzie się w piątek 7 maja 2021 na Cmentarzu Komunalnym Szczecińska w Łodzi. Początek uroczystości o godz. 9.15.
