Kluba urodził się 9 stycznia 1931 r. w Przystani koło Częstochowy, gdzie w 1951 r. ukończył studium teatralne. Pracował jako dziennikarz i kierownik częstochowskiej mutacji „Dziennika Łódzkiego”. Studiował filologię klasyczną na Uniwersytecie we Wrocławiu. W 1958 r. ukończył studia na Wydziale Reżyserii w PWSFTviT im. L. Schillera w Łodzi. Jako aktor debiutował w szkolnych filmach Romana Polańskiego. Grał również w większości filmów reżyserowanych przez siebie. Początkowo był asystentem reżysera. W 1966 zadebiutował jako reżyser filmów fabularnych obrazem „Chudy i inni”. W 1986 r. został przewodniczącym Zespołu Filmowego Narodowej Rady Kultury. W latach 1987–1989 był członkiem Komitetu Kinematografii, a od 1967 r. był pracownikiem naukowym PWSFTviT. W latach 1978–1981 i 1993–1996 był dziekanem wydziału reżyserii, a w latach 1982–1990 i 1996–2002 rektorem tej uczelni.
W grudniu 1987 r. został mu nadany tytuł profesora nadzwyczajnego sztuki filmowej. Jego dorobek obejmuje kilka obrazów fabularnych, m.in. „Słońce wschodzi raz na dzień” (1967), „Pięć i pół bladego Józka” (1971), czy „Gwiazda Piołun” (1988) oraz serial telewizyjny „Doktor Ewa” (1970), ale Henryk Kluba dał się poznać głównie jako sprawny organizator i menedżer, rektor Filmówki i ważna postać w świecie łódzkiej kultury. Zmarł nagle w pokoju hotelowym podczas 51. edycji festiwalu Filmów Amatorskich OKFA w Koninie, gdzie przewodniczył obradom jury.
Spoczywa w Alei Zasłużonych na Cmentarzu Komunalnym na Dołach i ma swoją gwiazdę na Piotrkowskiej.
